题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)。从小$渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1

34

说明/提示

【限制】

对于 $30%$ 的数据，$1 \le m, n \le 10$；
对于 $100%$ 的数据满足：$1 \le m, n \le 50$。

【来源】

NOIP 2008 提高组第三题

题解

这是一道经典的四维DP，和 P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数相似。

我们考虑两个人同时走，就相当于数字三角形。状态转移方程为：

$$f[i][j][k][l] = max(f[i-1][j][k-1][l], f[i-1][j][k][l-1], f[i][j-1][k-1][l], f[i][j-1][k][l-1]) + g[i][j] + g[k][l];$$
不过要判断 $i = k \&\& j = l$ 的情况。

//
// Created by harrytsz on 2022/3/7.
//
#include<iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 55;
int g[N][N], f[N][N][N][N];
int m, n;

int main() {
    scanf("%d %d", &m, &n);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }
    memset(f, sizeof(f), 0);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            for(int k = 1; k <= m; k++) {
                for(int l = 1; l <= n; l++) {
                    f[i][j][k][l] = max(max(f[i-1][j][k-1][l], f[i-1][j][k][l-1]), max(f[i][j-1][k-1][l], f[i][j-1][k][l-1])) + g[i][j] + g[k][l];
                    if(i == k && l == j) f[i][j][k][l] -= g[i][j];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[m][n][m][n]);
    return 0;
}