在 $MCMC$采样和$M-H$采样中，我们讲到了 $M-H$ 采样已经可以很好的解决蒙特卡罗方法需要的任意概率分布的样本集的问题。但是 $M-H$ 采样有两个缺点：

  • 一是需要计算接受率，在高维时计算量大。并且由于接受率的原因导致算法收敛时间变长。
  • 二是有些高维数据，特征的条件概率分布好求，但是特征的联合分布不好求。

因此需要一个好的方法来改进 $M-H$ 采样，这就是我们下面讲到的 $Gibbs$ 采样。

1. 重新寻找合适的细致平稳条件

在上一篇中，我们讲到了细致平稳条件：如果非周期马尔科夫链的状态转移矩阵 $P$ 和概率分布$\pi(x)$ 对于所有的 $i, j$ 满足：

$$\pi(i) P(i, j) = \pi(j) P(j,i)$$

则称概率分布 $\pi(x)$ 是状态转移矩阵 $P$ 的平稳分布。

在 $M-H$ 采样中我们通过引入接受率使细致平稳条件满足。现在我们换一个思路。

从二维的数据分布开始，假设 $\pi(x_1, x_2)$ 是一个二维联合数据分布，观察第一个特征维度相同的两个点 $A(x^{(1)}_{1}, x^{(1)}_{2})$ 和 $B(x^{(1)}_{1}, x^{(2)}_{2})$，容易发现下面两式成立：

$$\pi(x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}) \pi(x_{2}^{(2)}, x_{1}^{(1)}) = \pi(x_{1}^{(1)})\pi(x_{2}^{(1)}| x_{1}^{(1)})\pi(x_{2}^{(2)}, x_{1}^{(1)})$$

$$\pi(x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}) \pi(x_{2}^{(1)}, x_{1}^{(1)}) = \pi(x_{1}^{(1)})\pi(x_{2}^{(2)}| x_{1}^{(1)})\pi(x_{2}^{(1)}, x_{1}^{(1)})$$

由于两式的右边相等，因此我们有：

$$\pi(x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}) \pi(x_{2}^{(2)}, x_{1}^{(1)}) = \pi(x_{1}^{(1)}| x_{2}^{(2)})\pi(x_{2}^{(1)}, x_{1}^{(1)})$$

也就是：

$$\pi(A)\pi(x_{2}^{(2)}|x_{1}^{(1)}) = \pi(B) \pi(x_{2}^{(1)}|x_{1}^{(1)})$$

观察上式再观察细致平稳条件的公式，我们发现在 $x_1 = x^{(1)}_{1}$ 这条直线上，如果用条件概率分布 $\pi(x_2 |x^{(1)}_{1})$ 作为马尔科夫链的状态转移概率，则任意两个点之间的转移满足细致平稳条件！这真是一个开心的发现，同样的道理，在 $x_2 = x^{(1)}_{2}$ 这条直线上，如果用条件概率分布 $\pi(x_1 | x^{(1)}_{2})$ 作为马尔科夫链的状态转移概率，则任意两个点之间的转移也满足细致平稳条件。那是因为假如有一点 $C(x^{(2)}_{1}, x^{(1)}_{2})$ ,我们可以得到：

$$\pi(A)\pi(x_{1}^{(2)}|x_{2}^{(1)}) = \pi(C) \pi(x_{1}^{(1)}|x_{2}^{(1)})$$

基于上面的发现，我们可以这样构造分布 $\pi(x_1, x_2)$ 的马尔可夫链对应的状态转移矩阵 $P$：

$$P(A \rightarrow B) = \pi(x_{2}^{(B)} | x_{1}^{(1)}) if x_{1}^{(A)} = x_{1}^{(B)} = x_{1}^{(1)}$$

$$P(A \rightarrow C) = \pi(x_{1}^{(C)} | x_{2}^{(1)}) if x_{2}^{(A)} = x_{2}^{(C)} = x_{2}^{(1)}$$

$$P(A \rightarrow D) = 0 else$$

有了上面这个状态转移矩阵，我们很容易验证二维平面上的任意两点 $E, F$，满足细致平稳条件时：

$$\pi(E)P(E \rightarrow F) = \pi(F) P(F \rightarrow E)$$

于是这个二维空间上的马氏链将收敛到平稳分布 $\pi(x,y)$

2. 二维 $Gibbs$ 采样

利用上一节找到的状态转移矩阵，我们就得到了二维 $Gibbs$ 采样，这个采样需要两个维度之间的条件概率。具体过程如下：

1）输入平稳分布 $\pi(x_1, x_2)$，设定状态转移次数阈值 $n_1$，需要的样本个数 $n_2$

2）随机初始化初始状态值 $x^{(0)}_{1}$ 和 $x^{(0)}_{2}$

3）$for$ $t = 0$ $to$ $n_1 + n_2 − 1$:

a) 从条件概率分布 $P(x_2 | x^{(t)}_{1})$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_{2}$

b) 从条件概率分布 $P(x_1 | x^{(t+1)}_{2})$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_{1}$

样本集 $\{(x^{(n_1)}_1, x^{(n_1)}_2), (x^{(n_1+1)}_1, x^{(n_1+1)}_2),...,(x^{(n1+n2−1)}_1, x^{(n_1 + n_2 − 1)}_2)\}$ 即为我们需要的平稳分布对应的样本集。

整个采样过程中，我们通过轮换坐标轴，采样的过程为：

$$(x^{(1)}_1, x^{(1)}_2) \rightarrow (x^{(1)}_1, x^{(2)}_2) \rightarrow (x^{(2)}_1, x^{(2)}_2) \rightarrow ... \rightarrow (x^{(n_1+n_2−1)}_1, x^{(n_1+n_2−1)}_2)$$

用下图可以很直观的看出，采样是在两个坐标轴上不停的轮换的。当然，坐标轴轮换不是必须的，我们也可以每次随机选择一个坐标轴进行采样。不过常用的 $Gibbs$ 采样的实现都是基于坐标轴轮换的。

3. 多维 Gibbs 采样

上面的这个算法推广到多维的时候也是成立的。比如一个 $n$ 维的概率分布 $\pi(x_1, x_2, ... x_n)$，我们可以通过在 $n$ 个坐标轴上轮换采样，来得到新的样本。对于轮换到的任意一个坐标轴 $x_i$ 上的转移，马尔科夫链的状态转移概率为$P(x_i|x_1,x_2,...,x_{i−1},x_{i+1},...,x_{n})$，即固定 $n−1$ 个坐标轴，在某一个坐标轴上移动。

具体的算法过程如下：

1）输入平稳分布 $\pi(x_1, x_2，..., x_n)$ 或者对应的所有特征的条件概率分布，设定状态转移次数阈值 $n_1$，需要的样本个数$n_2$

2）随机初始化初始状态值 $(x^{(0)}_1, x^{(0)}_2,..., x^{(0)}_n)$

3）$for$ $t=0$ $to$ $n_1 + n_2 − 1$:

a) 从条件概率分布 $P(x_1|x^{(t)}_2, x^{(t)}_3, ..., x^{(t)}_n)$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_1$

b) 从条件概率分布 $P(x_2|x^{(t+1)}_1, x^{(t)}_3, x^{(t)}_4,...,x^{(t)}_n)$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_2$

c)...

d) 从条件概率分布 $P(x_j|x^{(t+1)}_1, x^{(t+1)}_2, ..., x^{(t+1)}_{j−1}, x^{(t)}_{j+1}...,x^{(t)}_n)$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_j$

e)...

f) 从条件概率分布 $P(x_n|x^{(t+1)}_1, x^{(t+1)}_2, ..., x^{(t+1)}_{n−1})$ 中采样得到样本 $x^{t+1}_n$

样本集 ${(x^{(n_1)}_1, x^{(n_1)}_2, ..., x^{(n_1)}_n), ..., (x^{(n_1+n_2−1)}_1, x^{(n_1+n_2−1)}_2,..., x^{(n_1+n_2−1)}_n)}$ 即为我们需要的平稳分布对应的样本集。

整个采样过程和 $Lasso$ 回归的坐标轴下降法算法非常类似，只不过$Lasso$回归是固定 $n−1$ 个特征，对某一个特征求极值。而 $Gibbs$ 采样是固定 $n−1$ 个特征在某一个特征采样。

同样的，轮换坐标轴不是必须的，我们可以随机选择某一个坐标轴进行状态转移，只不过常用的 $Gibbs$ 采样的实现都是基于坐标轴轮换的。

4. 二维 Gibbs 采样实例

这里给出一个 $Gibbs$ 采样的例子。完整代码参见我的 github

假设我们要采样的是一个二维正态分布 $Norm(\mu, \sum)$, 其中：

$$\mu = (\mu_1, \mu_2) = (5, -1)$$

$$\left[ \begin{matrix} \sigma_{1}^{2} & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_{2}^{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 4 \end{matrix} \right]$$

而采样过程中的需要的状态转移条件分布为：

$$P(x_1 | x_2) = Norm(\mu_1 + \rho \sigma_1 / \sigma_2(x_2 - \mu_2), (1-\rho^{2})\sigma_{1}^{2})$$

$$P(x_2 | x_1) = Norm(\mu_2 + \rho \sigma_2 / \sigma_1(x_1 - \mu_1), (1-\rho^{2})\sigma_{2}^{2})$$

具体的代码如下：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.stats import multivariate_normal
samplesource = multivariate_normal(mean=[5,-1], cov=[[1,1],[1,4]])

def p_ygivenx(x, m1, m2, s1, s2):
    return (random.normalvariate(m2 + rho * s2 / s1 * (x - m1), math.sqrt((1 - rho ** 2) * (s2**2))))

def p_xgiveny(y, m1, m2, s1, s2):
    return (random.normalvariate(m1 + rho * s1 / s2 * (y - m2), math.sqrt((1 - rho ** 2) * (s1**2))))

N = 5000
K = 20
x_res = []
y_res = []
z_res = []
m1 = 5
m2 = -1
s1 = 1
s2 = 2

rho = 0.5
y = m2

for i in xrange(N):
    for j in xrange(K):
        x = p_xgiveny(y, m1, m2, s1, s2)
        y = p_ygivenx(x, m1, m2, s1, s2)
        z = samplesource.pdf([x,y])
        x_res.append(x)
        y_res.append(y)
        z_res.append(z)

num_bins = 50
plt.hist(x_res, num_bins, normed=1, facecolor='green', alpha=0.5)
plt.hist(y_res, num_bins, normed=1, facecolor='red', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.show()

输出的两个特征各自的分布如下：

然后我们看看样本集生成的二维正态分布，代码如下：

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig, rect=[0, 0, 1, 1], elev=30, azim=20)
ax.scatter(x_res, y_res, z_res,marker='o')
plt.show()

输出的正态分布图如下：

5. Gibbs采样小结

由于 $Gibbs$ 采样在高维特征时的优势，目前我们通常意义上的 $MCMC$ 采样都是用的 $Gibbs$ 采样。当然 $Gibbs$ 采样是从 $M-H$ 采样的基础上的进化而来的，同时 $Gibbs$ 采样要求数据至少有两个维度，一维概率分布的采样是没法用 $Gibbs$ 采样的,这时 $M-H$ 采样仍然成立。

有了 $Gibbs$ 采样来获取概率分布的样本集，有了蒙特卡罗方法来用样本集模拟求和，他们一起就奠定了 $MCMC$ 算法在大数据时代高维数据模拟求和时的作用。$MCMC$ 系列就在这里结束吧。

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Last modification：February 22, 2022
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